בן רגינה ומנחם מנדל. נולד בי"ד בסיוון תש"ט (11.6.1949) בקובה. ילד שלישי להוריו. אח של יוסף, יעקב, ישראל, יורם ויהודית.

יהושע גדל במשפחה אוהבת ישראל, השפות בבית היו יידיש וספרדית. אביו עבד ב"סוכנות היהודית לארץ ישראל" ובני המשפחה עלו ארצה בסיוע הסוכנות בשנת 1957, בהיותו בן שמונה. משפחתו הקימה ביתה בתל אביב, שם גדל והתחנך.

בהגיעו לגיל חמש-עשרה בערך נרצח אביו ובתוך פחות משנה התייתם גם מאימו, שמצבה הבריאותי הורע נוכח רצח האב. ששת היתומים גדלו בעזרת בני משפחה, אשר סייעו להם כמיטב יכולתם.

על מנת לעזור בכלכלת המשפחה, החל לעבוד בחברת "דן" ככרטיסן. שם הכיר את העובד דוד צבי, בוגר הפלמ"ח וצה"ל, וחברות אמיצה וארוכת שנים נרקמה בין השניים. דוד הפך עבורו לדומיננטי, שימש לו מעין דמות אב ולקח אותו תחת חסותו, עד שיהושע הפך לבן בית בקרב משפחת צבי ונהג לבלות עימם שבתות וחגים.

בהגיעו לגיל גיוס התנדב לשירות כלוחם משמר הגבול (מג"ב) במשטרת ישראל. שירת בבית שאן, אהב את העשייה המבצעית כשתחושת שליחות ורצון לתרום פועמים בו. חברותי ואהוב, קשר קשרים חברתיים בקלות. חבריו לשירות היוו משפחה עבורו, והוא שמר עמם על קשר הדוק לאורך השנים, במפגשים ובטיולים משותפים.

בשנת 1969 במהלך פעילות מבצעית עלה על מוקש וכתוצאה מהפיצוץ נפצע ברגלו. קיבל טיפול רפואי, עבר שיקום ולשמחתו חזר ליחידה. בתום שירותו הסדיר המשיך לשירות קבע ושובץ בבסיס באזור שכם, אחר כך בירושלים ובהמשך בבית דגן.

במהלך שירותו לקח חלק במלחמות ישראל, לרבות מלחמת יום הכיפורים באוקטובר 1973. לחם באזור איסמעיליה בסיני, קרבות שהותירו בו חותם כשבמהלכם היה קרוב למוות מספר פעמים ואיבד חברים לנשק.

במקביל לבניית קריירה במשטרה, הקים יהושע זוגיות עם ריטה, שכנתו בתל אביב אותה הכיר בשנת 1970, בהיותו בן עשרים ואחת. השניים יצאו כשנה והתחתנו. תחילה גרו בתל אביב ובהמשך הקימו את ביתם בראשון לציון. ריטה סיפרה שהיו חברים טובים, שותפים לחיים וכי ידע להקשיב ולהרגיע אותה, נתן מרחב מחיה אך ידע גם לחבק ולתמוך. במרוצת השנים נולדו לשניים ארבעה ילדים – שלי, מיכל, מנחם ואבישי. בעל אוהב ומלא בנתינה היה, איש משפחה מסור ואוהב, אב נהדר שנהנה מזמן בילוי משותף במחיצת משפחתו, והם נהגו לצאת לטיולים יחד ברחבי הארץ לאורכה ולרוחבה.

בשנת 1990 נפצע יהושע בעת שירותו, כאשר במהלך מרדף התהפך הג'יפ שבו נסע. הוא סבל מפריצת דיסק צווארי, עבר סדרה של ניתוחים ואחריהם הליך שיקום ארוך. היה נחוש מאוד לשוב לאיתנו, פעל בנחישות על מנת להחזיר לעצמו את היכולת ללכת ומטרתו העיקרית הייתה לשוב לעבודתו במשטרה. "הוא אהב את המשטרה אהבת נפש" סיפרה רעייתו, "הייתה זו אשתו הראשונה... כשיהושע היה בשיקום היו לו הזיות והוא היה רואה חיילים ונותן להם פקודות - גם ברגעיו הקשים הוא היה חייל בנשמתו". שוחרר מהשיקום כשהוא מתנייד על קביים אך עצמאי לחלוטין. הוא ביקש להתנהל ללא תלות באחרים, הקפיד שלא להתלונן על כאבים או חוסר נוחות שחווה וחזר במלוא המרץ לתפקידו במשטרה. שירת, עד שחרורו בדרגת רב-סמל מתקדם, בבסיס בבית דגן.

בשנותיו האחרונות חלה הידרדרות במצבו, והוא נאלץ לעבור סדרת טיפולים והליך שיקום נוסף. כל העת נתמך במסירות במשפחתו האוהבת.

את תקופת חייו האחרונה בילה בביתו בחיק המשפחה. כחודש לפני פטירתו תיעדה אותו שלי בתו בסרט וידאו בשיחה על חייו ועל שירותו הארוך במשטרה. יהושע סיפר כמה משמעותי עבורו היה השירות, על אהבתו לחבריו ולתפקיד שמילא.

יהושע זלצמן נפטר ביום י' בחשוון תשע"ו (22.10.2015). בן שישים ושש בפטירתו. הובא למנוחות בבית העלמין בראשון לציון. הותיר אחריו אישה, שני בנים, שתי בנות, נכדים ואחים.

על מצבתו כתבו אוהביו: "אבא עם לב זהב, אוהבים אותך לנצח".

יהושע מונצח באתר "גלעד לזכרם" של המשטרה, באנדרטה לזכר חללי משטרת ישראל שהוקמה במכללת השוטרים בבית שמש ובאנדרטת חללי משמר הגבול שהוקמה בצומת עירון.